Quartiles et boîte à moustaches

La médiane coupe la série en deux. En la coupant en quatre, on obtient une description bien plus fine de la répartition.

Les quartiles

   Q1  : 25 % des valeurs lui sont inférieures ou égales
   Q2  : la MÉDIANE, 50 %
   Q3  : 75 %

   min        Q1       Q2       Q3        max
    |---------|--------|--------|---------|
      25 %      25 %     25 %     25 %

Chaque quart contient le même nombre de valeurs — mais pas forcément la même largeur : un quart resserré signale une concentration, un quart étalé une dispersion.

Les calculer

On trie la série, puis on repère les rangs. La convention scolaire française :

Q1 : valeur de rang n/4,  arrondi au rang supérieur
Q3 : valeur de rang 3n/4, arrondi au rang supérieur

Série : 2  3  5  7  8  10  12          n = 7

rang de Q1 : 7/4 = 1,75  ->  rang 2  ->  Q1 = 3
médiane    : rang 4      ->  Q2 = 7
rang de Q3 : 21/4 = 5,25 ->  rang 6  ->  Q3 = 10

D'autres conventions existent (interpolation, définitions des tableurs) et donnent parfois des valeurs légèrement différentes. L'essentiel est d'annoncer celle que l'on utilise.

La boîte à moustaches

C'est la représentation qui condense les cinq nombres clés — minimum, Q1, médiane, Q3, maximum :

        Q1      Q2        Q3
  min    |       |         |      max
   |-----[=======|=========]-------|
   2     3       7        10       12
    \___/ \_____________/ \______/
   moustache    BOÎTE      moustache
              (50 % des valeurs)

La boîte contient la moitié centrale des données ; les moustaches vont aux valeurs extrêmes. Sa force est de rendre la dissymétrie immédiatement visible :

Série symétrique              Série étirée vers la droite
   |---[===|===]---|             |-[==|===]-----------|
                                        (salaires : longue moustache droite)

Une boîte décalée à gauche avec une longue moustache droite est la signature typique d'une distribution de revenus ou de temps d'attente.

Repérer les valeurs aberrantes

Une convention répandue consiste à considérer comme atypique toute valeur située à plus de 1,5 × EIQ des bords de la boîte, où EIQ = Q3 - Q1 :

seuils :  Q1 - 1,5 × EIQ     et     Q3 + 1,5 × EIQ

   |-----[=====|=====]-----|        •          <- point isolé
                                   au-delà du seuil : à examiner

Une valeur ainsi repérée n'est pas forcément fausse : elle peut être une erreur de saisie comme l'observation la plus intéressante de l'étude. La règle sert à attirer l'attention, jamais à supprimer automatiquement une donnée.

Les déciles

Sur de grands effectifs, on découpe en dix : D1 (10 %), …, D9 (90 %). Le rapport interdécile D9/D1 est l'indicateur d'inégalité le plus utilisé en économie — il compare le seuil des 10 % les plus aisés à celui des 10 % les plus modestes.

En résumé

• Les quartiles Q1, Q2 (médiane), Q3 découpent la série en quatre parts d'effectifs égaux.
• La boîte à moustaches résume cinq nombres : min, Q1, médiane, Q3, max.
• La boîte contient les 50 % centraux des valeurs.
• EIQ = Q3 - Q1 ; au-delà de 1,5 × EIQ des bords, une valeur est dite atypique.
• Une valeur atypique s'examine, elle ne se supprime pas d'office.
• Les déciles et le rapport D9/D1 mesurent les inégalités.