Étendue, écart interquartile et écart-type

Deux séries peuvent avoir la même moyenne et n'avoir rien en commun. Les indicateurs de dispersion disent à quel point les valeurs s'écartent du centre.

Le problème

Série A :  9  10  10  10  11        moyenne 10
Série B :  0   5  10  15  20        moyenne 10

Même moyenne, même médiane — et pourtant deux réalités opposées : un groupe homogène, un groupe très hétérogène.

L'étendue

étendue = maximum - minimum

Série A : 11 - 9  = 2
Série B : 20 - 0  = 20

Simple, mais fragile : elle ne dépend que des deux valeurs extrêmes, donc une seule donnée aberrante la fait exploser.

L'écart interquartile

EIQ = Q3 - Q1

C'est l'étendue de la moitié centrale des données. Il ignore par construction les 25 % les plus bas et les 25 % les plus hauts, ce qui le rend robuste aux valeurs extrêmes. C'est l'indicateur qui accompagne naturellement la médiane.

L'écart-type

C'est le plus utilisé, car il tient compte de toutes les valeurs.

1. calculer les écarts à la moyenne          xi - moyenne
2. les élever au carré                       (xi - moyenne)²
3. en faire la moyenne  ->  la VARIANCE
4. prendre la racine    ->  l'ÉCART-TYPE

Série : 2  3  5  7  8  10  12       moyenne = 47/7 ≈ 6,71

variance  ≈ 11,35
écart-type ≈ 3,37

Pourquoi élever au carré ? Parce que la somme des écarts simples est toujours nulle — les écarts négatifs compensent exactement les positifs. Le carré supprime ce problème, et pénalise davantage les grands écarts. La racine finale ramène le résultat dans l'unité des données : des euros, pas des euros².

      moyenne
         |
   ------●------            écart-type PETIT : valeurs serrées
      ●  ●  ●

   ●-----●-----●            écart-type GRAND : valeurs dispersées

Comment le lire

L'écart-type se lit comme un écart typique à la moyenne. Pour une distribution en cloche, la règle des trois sigmas donne des repères immédiats : environ 68 % des valeurs dans moyenne ± 1 écart-type, 95 % dans ± 2.

Pour comparer des séries d'unités différentes, on utilise le coefficient de variation :

CV = écart-type / moyenne          (sans unité, souvent en %)

Un CV de 5 % indique une série très homogène, quel que soit le domaine.

Le tableau de choix

                     va avec          robuste aux extrêmes ?
------------------   --------------   -----------------------
étendue              min/max          non, très sensible
écart interquartile  MÉDIANE          OUI
écart-type           MOYENNE          non

La règle de cohérence : on annonce médiane et écart interquartile, ou moyenne et écart-type. Mélanger un indicateur robuste avec un indicateur sensible produit un résumé incohérent.

En résumé

• L'étendue max - min est simple mais très sensible aux extrêmes.
• L'écart interquartile Q3 - Q1 décrit la moitié centrale : robuste.
• L'écart-type utilise toutes les valeurs ; on élève au carré car la somme des écarts est nulle.
• Il s'exprime dans l'unité des données, contrairement à la variance.
• Le coefficient de variation σ/moyenne compare des séries d'unités différentes.
• On associe médiane + EIQ, ou moyenne + écart-type.