Résumer une série par sa position
Moyenne, médiane et mode
Face à une série de mesures — des salaires, des notes, des durées —, la première tâche est de la résumer par quelques nombres. Les indicateurs de position répondent à la question : « autour de quelle valeur les données se situent-elles ? »
La moyenne
somme des valeurs
moyenne = -------------------
nombre de valeurs
Pour une série où les valeurs se répètent, on utilise les effectifs :
Notes : 8 ×3 12 ×5 16 ×2
8×3 + 12×5 + 16×2 24 + 60 + 32 116
moyenne = --------------------- = --------------- = ------- = 11,6
3 + 5 + 2 10 10
C'est une moyenne pondérée : chaque valeur pèse à hauteur de son effectif. Attention à l'erreur classique — faire la moyenne des valeurs (8 + 12 + 16)/3 = 12 — qui ignore que la note 12 a été obtenue cinq fois.
La moyenne a une propriété mécanique : c'est le point d'équilibre de la série.
8 12 16
| | |
----▲---------▲-----------▲----
^
11,6 <- le pivot qui équilibre la balance
La médiane
La médiane partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif : la moitié des valeurs lui sont inférieures, l'autre moitié supérieures.
Le calcul demande de trier d'abord — c'est l'étape que l'on oublie le plus souvent.
Série impaire (7 valeurs) : 2 3 5 7 8 10 12
^
la 4e valeur -> médiane = 7
Série paire (8 valeurs) : 12 15 15 18 | 20 22 25 30
^
moyenne des deux du milieu :
(18 + 20)/2 = 19
Le mode
Le mode est la valeur la plus fréquente. Il est le seul indicateur utilisable sur des données qualitatives (couleur préférée, parti politique), où moyenne et médiane n'ont aucun sens. Une série peut avoir plusieurs modes.
Moyenne ou médiane ? Le point décisif
Les deux résument la position, mais ne réagissent pas du tout de la même façon aux valeurs extrêmes.
Salaires d'une petite entreprise (en euros) :
1500 1600 1700 1800 20000
^^^^^ le dirigeant
moyenne = 26 600 / 5 = 5320 €
médiane = 1700 €
Quatre salariés sur cinq gagnent moins que la moyenne. Annoncer « le salaire moyen est de 5320 € » est exact et pourtant profondément trompeur.
La moyenne est SENSIBLE aux valeurs extrêmes : elle les intègre en entier.
La médiane est ROBUSTE : elle ne dépend que du rang, pas de l'ampleur.
Multiplier par dix le salaire du dirigeant ferait bondir la moyenne à plus de 40 000 € ; la médiane, elle, ne bougerait pas d'un centime.
La règle pratique : sur une série symétrique, moyenne et médiane coïncident et le choix est indifférent. Sur une série dissymétrique — salaires, patrimoines, temps d'attente —, la médiane décrit mieux la situation d'une personne « typique ». C'est pourquoi l'INSEE publie systématiquement les deux, et met en avant le salaire médian.
En résumé
- La moyenne est le point d'équilibre ; avec des effectifs, elle est pondérée.
- La médiane partage la série ordonnée en deux moitiés — il faut trier avant.
- Le mode est la valeur la plus fréquente, seul utilisable sur du qualitatif.
- La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane est robuste.
- Sur une série dissymétrique (salaires), la médiane est plus honnête.
- Série symétrique : moyenne = médiane.