Resoudre une inequation du second degre

Methode en 3 etapes

1. Ramener l'inequation a la forme ax^2 + bx + c >= 0 (ou <=, >, <), c'est-a-dire tout d'un cote et 0 de l'autre.
2. Calculer Delta et les racines eventuelles.
3. Appliquer la regle du signe et lire le tableau de signes pour repondre a la question posee.

Exemple complet

Resoudre : x^2 - x - 6 <= 0

Etape 1 : deja sous la bonne forme, a = 1, b = -1, c = -6.

Etape 2 : Delta = 1 - 41(-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2. Racines : x1 = (1-5)/2 = -2, x2 = (1+5)/2 = 3.

Etape 3 : a = 1 > 0, donc f(x) <= 0 entre les racines (bornes incluses car inegalite large).

Solution : S = [-2 ; 3]

Autre exemple (a negatif)

Resoudre : -2*x^2 + 8 > 0

Equivaut a resoudre -2*x^2 + 8 = 0 -> x^2 = 4 -> x1 = -2, x2 = 2. Ici a = -2 < 0.

f(x) est du signe de -a (positif) entre les racines.

Solution stricte : S = ]-2 ; 2[

Piege classique

• Ne pas oublier de tout regrouper d'un cote de l'inegalite avant de calculer Delta.
• Bien distinguer inegalite large (<=, >=), qui inclut les racines, et stricte (<, >), qui les exclut.
• Si Delta < 0 et a > 0, alors f(x) >= 0 est vraie pour tout x reel (S = R), tandis que f(x) <= 0 n'a aucune solution.