Suites definies par recurrence et fonction associee

Suites definies par une relation de recurrence

Quand une suite est definie par u(n+1) = f(u_n), avec u_0 donne, on ne peut pas toujours calculer u_n directement en fonction de n. On etudie alors la fonction f sur un intervalle I qui contient tous les termes de la suite.

Principe

Si f est croissante sur I et que u_0 appartient a I :

• si u_1 >= u_0, alors par recurrence (u_n) est croissante ;
• si u_1 <= u_0, alors (u_n) est decroissante.

En revanche, si f est decroissante sur I, la suite n'est en general pas monotone : ses termes ont tendance a osciller (les termes de rang pair et impair evoluent en sens opposes).

Exemple

Soit u_0 = 1 et u(n+1) = sqrt(2 + u_n). La fonction associee f(x) = sqrt(2+x) est croissante sur [0 ; +infini[. On calcule u_1 = sqrt(2+1) = sqrt(3) ~ 1,73, donc u_1 > u_0. Comme f est croissante et u_1 > u_0, on montre par recurrence que u_n <= u(n+1) pour tout n : la suite est croissante. On peut aussi montrer qu'elle est majoree par 2 (point fixe de f), donc elle converge.

Piege classique

Deux etapes sont indispensables et souvent oubliees : (1) verifier que l'intervalle I est stable par f (si u_n est dans I, alors u(n+1) = f(u_n) reste dans I), et (2) rediger correctement l'hypothese de recurrence (comparer u_n et u(n+1), pas seulement u_0 et u_1).