Etudier le signe de u(n+1) - u_n

La methode de la difference

Pour etudier le sens de variation d'une suite (u_n), la methode la plus generale consiste a calculer et simplifier l'expression D = u(n+1) - u_n, puis a determiner son signe pour tout entier n.

• Si D >= 0 pour tout n, la suite est croissante (D > 0 : strictement croissante).
• Si D <= 0 pour tout n, la suite est decroissante (D < 0 : strictement decroissante).
• Si D = 0 pour tout n, la suite est constante.

Exemple 1 : suite arithmetique

Soit u_n = u_0 + n*r. Alors u(n+1) - u_n = r, qui est une constante. Le signe de r suffit donc a conclure :

Signe de r	Sens de variation
r > 0	strictement croissante
r < 0	strictement decroissante
r = 0	constante

Exemple 2 : suite non affine

Soit u_n = n^2 - n. On calcule : u(n+1) - u_n = (n+1)^2 - (n+1) - (n^2 - n) = n^2 + 2n + 1 - n - 1 - n^2 + n = 2n.

Comme n est un entier naturel, 2n >= 0 pour tout n, donc la suite est croissante au sens large (et strictement croissante des que n >= 1, car 2n > 0 pour n >= 1).

Piege classique

Une erreur frequente est de conclure a partir du signe de u_n lui-meme plutot que de la difference u(n+1) - u_n. Le signe des termes de la suite n'a aucun rapport direct avec son sens de variation : une suite peut avoir tous ses termes positifs et pourtant etre decroissante (par exemple u_n = 1/(n+1)).