La methode du quotient pour les suites positives

Pourquoi utiliser un quotient ?

Lorsque tous les termes d'une suite (u_n) sont strictement positifs (ou tous strictement negatifs), on peut etudier le signe de u(n+1) - u_n en comparant plutot le quotient u(n+1)/u_n au nombre 1. C'est souvent plus simple lorsque u_n contient des puissances, des factorielles ou des produits.

La regle

Pour une suite a termes strictement positifs :

• si u(n+1)/u_n > 1 pour tout n, la suite est strictement croissante ;
• si u(n+1)/u_n < 1 pour tout n, la suite est strictement decroissante ;
• si u(n+1)/u_n = 1 pour tout n, la suite est constante.

Exemple : suite geometrique

Soit u_n = u_0 * q^n avec u_0 > 0 et q > 0. Alors u(n+1)/u_n = q. On compare simplement q a 1 : q > 1 donne une suite croissante, 0 < q < 1 donne une suite decroissante.

Exemple avec puissances

Soit u_n = (n+1)/2^n pour n entier naturel (u_n > 0 pour tout n). On calcule : u(n+1)/u_n = [(n+2)/2^(n+1)] / [(n+1)/2^n] = (n+2)/(2*(n+1)).

Or (n+2) < 2*(n+1) = 2n+2 equivaut a 0 < n, donc des que n >= 1, le quotient est strictement inferieur a 1 : la suite est strictement decroissante a partir du rang 1 (avec u_0 = u_1 = 1).

Piege classique

Cette methode exige que tous les u_n aient le meme signe strict (sinon diviser par u_n peut changer le sens des inegalites, ou etre impossible si u_n = 0). Verifiez toujours le signe des termes avant d'utiliser le quotient.