Suites croissantes, decroissantes, constantes

Definition

Une suite (u_n) est croissante si, pour tout entier naturel n, u(n+1) >= u_n. Elle est strictement croissante si u(n+1) > u_n. De meme, elle est decroissante si u(n+1) <= u_n, et strictement decroissante si u(n+1) < u_n. Si u(n+1) = u_n pour tout n, la suite est constante.

Une suite qui est croissante ou decroissante (au sens large ou strict) est dite monotone. Attention : de nombreuses suites ne sont ni croissantes ni decroissantes (par exemple une suite alternee) ; on dit alors qu'elles ne sont pas monotones.

Exemples

• u_n = n^2 : les termes 0, 1, 4, 9, 16, ... augmentent constamment -> suite strictement croissante.
• u_n = 1/(n+1) : les termes 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... diminuent -> suite strictement decroissante.
• u_n = (-1)^n : les termes valent 1, -1, 1, -1, ... -> suite non monotone.

Tableau recapitulatif

Condition pour tout n	Nom
u(n+1) > u_n	strictement croissante
u(n+1) >= u_n	croissante (sens large)
u(n+1) < u_n	strictement decroissante
u(n+1) <= u_n	decroissante (sens large)
u(n+1) = u_n	constante

Piege classique

Regarder seulement les 2 ou 3 premiers termes ne suffit jamais pour conclure : il faut prouver l'inegalite pour tout entier n, en general par un calcul algebrique (voir la lecon suivante).