Variations et composition, cas des fonctions usuelles

Retenir les fonctions de reference

Certaines fonctions ont des variations a connaitre par coeur, elles serviront de bases pour etudier des fonctions plus complexes.

Fonction	Sens de variation
f(x) = x^2	decroissante sur ]-l'infini;0], croissante sur [0;+l'infini[
f(x) = sqrt(x)	croissante sur [0 ; +l'infini[
f(x) = 1/x	decroissante sur ]-l'infini;0[ et sur ]0;+l'infini[
f(x) = ax + b, a > 0	croissante sur R
f(x) = ax + b, a < 0	decroissante sur R

Regle de composition simple

Quand on ajoute une constante ou qu'on multiplie par un nombre positif, le sens de variation ne change pas. Par exemple, g(x) = x^2 + 3 a les memes variations que x^2.

Quand on multiplie par un nombre negatif, le sens de variation s'inverse. Par exemple h(x) = -3 x sqrt(x)... plus simplement : si f est croissante sur I et k < 0, alors k * f est decroissante sur I.

Exemple applique

Etudions g(x) = -2x^2 + 1 sur R.

On part de x^2 : decroissante sur ]-l'infini;0], croissante sur [0;+l'infini[.

On multiplie par -2 (nombre negatif) : les variations s'inversent partout.

Donc g est croissante sur ]-l'infini;0] et decroissante sur [0;+l'infini[. On verifie avec le sommet : g(0) = 1, qui est bien un maximum ici (et non un minimum comme pour x^2 seul).

Piege a eviter

Ne confonds pas "multiplier la fonction par un negatif" (qui inverse les variations) et "remplacer x par -x" (qui inverse l'intervalle, une symetrie differente). Ces deux transformations sont distinctes et donnent des resultats differents selon la fonction de depart. Toujours refaire le raisonnement avec la definition ou le taux d'accroissement en cas de doute.