Demontrer un sens de variation par la definition

La methode du taux d'accroissement

Pour demontrer qu'une fonction est croissante ou decroissante sur un intervalle I, une methode fiable consiste a etudier le signe du quotient : (f(b) - f(a)) / (b - a), pour a et b distincts dans I.

• Si ce quotient est toujours positif, f est croissante sur I.
• Si ce quotient est toujours negatif, f est decroissante sur I.

Ce quotient s'appelle le taux d'accroissement : il mesure la variation moyenne de f entre a et b.

Exemple detaille

Montrons que f(x) = 2x + 5 est croissante sur R. Prenons a et b avec a different de b.

f(b) - f(a) = (2b + 5) - (2a + 5) = 2b - 2a = 2(b - a)

Donc (f(b) - f(a)) / (b - a) = 2(b - a) / (b - a) = 2

Le taux d'accroissement vaut toujours 2, qui est positif : f est donc strictement croissante sur R. C'est logique, car une fonction affine de la forme ax + b est croissante si a > 0 et decroissante si a < 0.

Exemple avec une fonction non affine

Montrons que f(x) = 1/x est decroissante sur ]0 ; +l'infini[. Pour a et b strictement positifs et distincts :

f(b) - f(a) = 1/b - 1/a = (a - b) / (ab)

(f(b) - f(a)) / (b - a) = (a - b) / ((ab)(b - a)) = -1 / (ab)

Comme a > 0 et b > 0, ab > 0, donc -1/(ab) est toujours negatif : f est bien decroissante sur cet intervalle.

Piege classique

Il faut absolument preciser le domaine sur lequel on travaille. Pour f(x) = 1/x, le raisonnement ci-dessus ne s'applique qu'a des a et b de meme signe : sur ]-l'infini ; 0[ egalement decroissante, mais on ne peut pas comparer un a negatif et un b positif car 0 n'appartient pas au domaine de f.