Le tableau de variations

A quoi sert le tableau de variations

Le tableau de variations est un resume visuel du comportement d'une fonction sur son ensemble de definition. Il indique, pour chaque intervalle, si la fonction croit ou decroit, grace a des fleches, et il precise les valeurs extremes (maximum ou minimum) atteintes.

Comment le construire

1. On identifie les intervalles ou la fonction change de sens de variation (ces points s'appellent des extremums locaux).
2. Sur la premiere ligne, on place les valeurs de x qui delimitent ces intervalles, dans l'ordre croissant.
3. Sur la deuxieme ligne, on trace une fleche vers le haut (croissance) ou vers le bas (decroissance), et on indique les valeurs de f(x) aux bornes.

Exemple : f(x) = x^2 - 4x + 3

Cette fonction est decroissante sur ]-l'infini ; 2] puis croissante sur [2 ; +l'infini[. Son minimum vaut f(2) = 4 - 8 + 3 = -1.

x	-l'infini	...	2	...	+l'infini
f(x)	+l'infini (fleche descend)		-1		+l'infini (fleche monte)

On lit ainsi directement que f admet un minimum egal a -1 atteint en x = 2.

Lien avec la courbe

Chaque fleche montante correspond a une portion de courbe qui "monte" quand on la lit de gauche a droite, et chaque fleche descendante correspond a une portion qui "descend". Le point ou la fleche change de direction correspond a un sommet (creux ou bosse) de la courbe.

Piege a eviter

Ne confonds pas le minimum de la fonction (une valeur de f(x)) avec le point ou il est atteint (une valeur de x). On ecrit : "le minimum de f est -1, atteint en x = 2", et non "le minimum est 2".