Fonction croissante, fonction decroissante

Une idee intuitive

Une fonction f decrit comment une quantite evolue. On dit que f est croissante sur un intervalle I si, quand x augmente, f(x) augmente aussi. On dit qu'elle est decroissante si, quand x augmente, f(x) diminue.

Definition rigoureuse

Soit f une fonction definie sur un intervalle I.

• f est croissante sur I si, pour tous a et b de I : si a <= b alors f(a) <= f(b).
• f est decroissante sur I si, pour tous a et b de I : si a <= b alors f(a) >= f(b).

Si les inegalites sont strictes (f(a) < f(b)), on parle de croissance ou decroissance stricte. C'est cette version stricte qui est la plus utile pour etudier une fonction en detail.

Exemple concret

Prenons f(x) = x^2 sur l'intervalle [0 ; +l'infini[. Si on prend a = 2 et b = 3 (donc a <= b), on a f(2) = 4 et f(3) = 9, donc f(a) <= f(b) : la fonction est croissante sur cet intervalle.

Mais attention, sur ]-l'infini ; 0], la meme fonction est decroissante : avec a = -3 et b = -2 (a <= b), on obtient f(a) = 9 et f(b) = 4, donc f(a) >= f(b).

Piege classique

Le sens de variation depend toujours de l'intervalle considere. Dire "f(x) = x^2 est croissante" sans preciser l'intervalle est incomplet, voire faux, car ce n'est vrai que sur [0 ; +l'infini[.

Intervalle	Comportement de x^2
]-l'infini ; 0]	decroissante
[0 ; +l'infini[	croissante

Un autre piege : une fonction peut etre constante sur une partie de son domaine (par exemple f(x) = 3 pour tout x). Dans ce cas, elle n'est ni strictement croissante ni strictement decroissante, elle est constante.