Proprietes de l'homothetie

Ce que l'homothetie conserve

Contrairement a la rotation, l'homothetie ne conserve PAS les longueurs (sauf si k = 1 ou k = -1). En revanche, elle conserve :

• les angles
• le parallelisme (une droite et son image sont paralleles)
• les alignements
• la nature des figures (un carre reste un carre, un cercle reste un cercle)

Effet sur les longueurs et les aires

Si une longueur initiale vaut L, son image vaut |k| x L (valeur absolue de k, car une longueur est toujours positive).

Pour les aires, l'effet est encore plus marque : une aire initiale A devient k^2 x A apres l'homothetie. C'est logique, car une aire depend du produit de deux longueurs, chacune multipliee par k.

Exemple

Un triangle a une aire de 6 cm^2. On lui applique une homothetie de rapport k = 3.

• Les longueurs des cotes sont multipliees par 3
• L'aire du triangle image vaut 3^2 x 6 = 9 x 6 = 54 cm^2

Si le rapport avait ete k = -2, les longueurs auraient ete multipliees par 2 (valeur absolue), et l'aire par (-2)^2 = 4, soit 24 cm^2, meme si le triangle est retourne par rapport au centre.

Homothetie et cercle

L'image d'un cercle de centre A et de rayon r par une homothetie de rapport k est un cercle de rayon |k| x r, dont le centre est l'image de A.

Piege classique

Ne pas confondre l'effet sur les longueurs (multipliees par |k|) et l'effet sur les aires (multipliees par k^2). Par exemple, avec k = 2, les longueurs doublent mais l'aire est multipliee par 4, pas par 2 : c'est l'erreur la plus frequente sur ce chapitre.