Definition et rapport d'une homothetie

Qu'est-ce qu'une homothetie ?

Une homothetie est une transformation du plan qui agrandit ou reduit une figure a partir d'un point fixe appele centre, selon un nombre appele rapport (souvent note k).

On note h(O, k) l'homothetie de centre O et de rapport k. Si M' est l'image de M, alors les points O, M, M' sont alignes et on a la relation vectorielle : vecteur OM' = k x vecteur OM.

Lire le rapport k

Le rapport k donne deux informations essentielles :

Valeur de k	Effet sur la figure	Position de M' par rapport a O
k > 1	Agrandissement	M' du meme cote que M, plus loin de O
k = 1	Aucun changement (identite)	M' = M
0 < k < 1	Reduction	M' du meme cote que M, plus proche de O
k = -1	Symetrie centrale	M' de l'autre cote de O, OM' = OM
k < 0	Retournement + changement de taille	M' de l'autre cote de O

Exemple

Soit O un point et M un point tel que OM = 4 cm. On applique l'homothetie de centre O et de rapport k = 2,5.

On a alors OM' = 2,5 x 4 = 10 cm, avec M' aligne avec O et M, du meme cote (car k est positif).

Si on avait choisi k = -0,5, on aurait OM' = 0,5 x 4 = 2 cm, mais M' se trouverait de l'autre cote de O par rapport a M (car k est negatif).

Piege classique

Ne pas oublier le signe de k ! Un rapport negatif ne change pas seulement la taille, il change aussi le sens : le point M' passe de l'autre cote du centre O. Beaucoup d'eleves oublient ce retournement et placent M' du mauvais cote.