Calcul de primitives et applications
Primitives de fonctions composees
Reconnaitre une forme composee
Certaines fonctions se calculent grace a une fonction interieure u. Si u est derivable sur I, il faut reperer les formes suivantes :
| Forme de f | Une primitive F | Condition |
|---|---|---|
| f = u' * u^n | F = u^(n+1)/(n+1) | n entier, n>=1 |
| f = u'/u | F = ln(u) | u(x) > 0 |
| f = u' * e^u | F = e^u | aucune |
| f = u'/sqrt(u) | F = 2*sqrt(u) | u(x) > 0 |
| f = u' * cos(u) | F = sin(u) | aucune |
| f = u' * sin(u) | F = -cos(u) | aucune |
Exemple 1
f(x) = 2x * (x^2+3)^4. On pose u(x) = x^2+3, donc u'(x) = 2x. On reconnait la forme u'*u^n avec n = 4. F(x) = u^5/5 = (x^2+3)^5 / 5.
Exemple 2
f(x) = 2x/(x^2+1). On pose u(x) = x^2+1 > 0, u'(x) = 2x. C'est la forme u'/u. F(x) = ln(x^2+1).
Methode
- Identifier u(x) et calculer u'(x).
- Verifier que le facteur devant correspond bien a u'(x), a une constante multiplicative pres.
- Adapter avec la linearite si un coefficient manque : pour f(x) = x*(x^2+1)^4, on ecrit x = (1/2)*2x, donc F(x) = (1/2) * (x^2+1)^5/5.
Piege classique
Le piege le plus frequent : oublier de verifier que u' est vraiment present devant u^n ou u/... Beaucoup d'eleves appliquent la formule sans verifier ce coefficient, ce qui donne une fausse primitive. Toujours deriver le resultat trouve pour controler.