Definition d'une primitive

Qu'est-ce qu'une primitive ?

Soit f une fonction definie sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I si F est derivable sur I et si, pour tout x de I :

F'(x) = f(x)

Autrement dit, deriver F redonne f. C'est l'operation inverse de la derivation.

Un exemple simple

Si f(x) = 2x, alors F(x) = x^2 est une primitive de f, car (x^2)' = 2x.

Mais G(x) = x^2 + 3 convient aussi, puisque (x^2 + 3)' = 2x. Et H(x) = x^2 - 7 egalement.

Une infinite de primitives

Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les fonctions F(x) + C, ou C est une constante reelle quelconque, sont aussi des primitives de f sur I. On ecrit souvent : les primitives de f sont F(x) + C, C appartient a R.

Reciproquement, deux primitives d'une meme fonction sur un intervalle different toujours d'une constante.

Existence

Theoreme (admis) : toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Piege classique

Ne jamais oublier le "+C" quand on donne la primitive generale : x^3 n'est pas LA primitive de 3x^2, c'est UNE primitive parmi une infinite. Attention aussi a ne pas confondre le sens : deriver f donne f', trouver une primitive de f revient a remonter vers une fonction dont f est la derivee.