Condition initiale et lien avec l'integrale

Trouver LA bonne primitive

Une fonction f admet une infinite de primitives de la forme F(x) + C. Pour determiner UNE primitive precise, on donne generalement une condition du type F(x0) = y0 (une valeur imposee en un point).

Methode

1. Calculer la primitive generale F(x) + C.
2. Remplacer x par x0 et poser l'equation F(x0) + C = y0.
3. Resoudre pour trouver C.
4. Ecrire la primitive complete.

Exemple

Soit f(x) = 2x. Les primitives generales sont F(x) = x^2 + C. On cherche celle qui verifie F(1) = 4. 1^2 + C = 4, donc C = 3. La primitive cherchee est F(x) = x^2 + 3.

Lien avec l'integrale

Le calcul integral repose directement sur les primitives : si F est une primitive de f sur [a ; b], alors l'integrale de a a b de f(x) dx = F(b) - F(a). C'est le theoreme fondamental de l'analyse, qui relie aire sous la courbe et primitives.

Exemple

Integrale de 0 a 2 de x^2 dx = [x^3/3] entre 0 et 2 = 8/3 - 0 = 8/3.

Piege classique

Ne pas oublier que le resultat F(b) - F(a) ne depend PAS du choix de la constante C : quelle que soit la primitive choisie, la difference reste la meme (les C s'annulent). Attention aussi a bien respecter l'ordre : c'est F(b) - F(a) et non l'inverse.