Racines d'un polynome et theoreme de factorisation

Racine d'un polynome

Un nombre a (reel ou complexe) est une racine de P si P(a) = 0. Le theoreme de factorisation affirme qu'alors P(x) est divisible par (x - a) : P(x) = (x - a) * Q(x), avec deg(Q) = deg(P) - 1

Multiplicite d'une racine

a est racine de multiplicite k si P(x) = (x-a)^k * Q(x) avec Q(a) != 0. On parle de racine simple si k=1, double si k=2, etc. On peut tester la multiplicite via les derivees successives : a est racine de multiplicite >= k si et seulement si P(a) = P'(a) = ... = P^(k-1)(a) = 0.

Exemple

P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3. Ici a=1 est racine triple : P(1)=0, P'(1)=0, P''(1)=0, mais P'''(1)=6 != 0, ce qui confirme une multiplicite exactement egale a 3.

Nombre de racines

Un polynome de degre n a au plus n racines reelles distinctes. Sur C, il possede exactement n racines comptees avec multiplicite (theoreme fondamental de l'algebre).

Piege classique

Apres une factorisation partielle, ne jamais supposer qu'une valeur qui annule un facteur intermediaire est forcement racine du polynome complet : il faut toujours reinjecter cette valeur dans P(x) d'origine pour verifier P(a) = 0.