Division euclidienne des polynomes

Le theoreme de division euclidienne

Pour tous polynomes A(x) et B(x), avec B non nul, il existe un unique couple (Q(x), R(x)) tel que : A(x) = B(x) * Q(x) + R(x), avec deg(R) < deg(B) (ou R = 0) Q est le quotient, R le reste. Le principe est le meme que pour la division euclidienne des entiers.

Methode pratique (division posee)

Exemple : diviser A(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 par B(x) = x - 2. Etape 1 : 2x^3 / x = 2x^2, on multiplie B par 2x^2 et on soustrait a A. Etape 2 : on repete l'operation sur le reste partiel jusqu'a obtenir un degre strictement inferieur a deg(B). Resultat : Q(x) = 2x^2 + x + 6 et R = 11, donc A(x) = (x-2)(2x^2+x+6) + 11.

Cas particulier : division par (x - a)

Quand B(x) = x - a, le reste R est une constante egale a A(a) (theoreme du reste). Le schema de Horner permet alors de calculer Q et R tres rapidement, methode largement utilisee en calcul numerique et en informatique.

Piege classique

Ne pas confondre division euclidienne (avec reste eventuel) et division exacte (reste nul, cas ou B divise A). Verifiez systematiquement que deg(R) < deg(B) : un reste de degre egal ou superieur a celui de B signale une erreur de calcul dans les etapes de soustraction.