Methodes de factorisation

Racines evidentes et methode de Horner

On cherche d'abord une racine "evidente" parmi les diviseurs du terme constant, si les coefficients sont entiers (theoreme de la racine rationnelle). Exemple : P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6. On teste x=1 : P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0, donc (x-1) divise P. Le schema de Horner donne rapidement le quotient : Q(x) = x^2 - 5x + 6.

Identites remarquables utiles

Identite	Forme factorisee
a^2 - b^2	(a-b)(a+b)
a^3 - b^3	(a-b)(a^2+ab+b^2)
a^3 + b^3	(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^2 + 2ab + b^2	(a+b)^2

Exemple complet

x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3). Les trois racines sont 1, 2 et 3, chacune simple.

Polynomes irreductibles sur R

Sur R, tout polynome se factorise en produit de facteurs de degre 1 et de facteurs de degre 2 a discriminant strictement negatif (irreductibles sur R). Exemple : x^2 + 1 est irreductible sur R (ses racines i et -i sont complexes) mais se factorise sur C en (x-i)(x+i).

Piege classique

Avant de conclure qu'un facteur de degre 2 est irreductible, verifiez son discriminant delta = b^2 - 4ac. N'oubliez pas non plus de tester les diviseurs negatifs du terme constant, pas seulement les positifs, lors de la recherche de racines rationnelles.