Definition et degre d'un polynome

Qu'est-ce qu'un polynome ?

Un polynome a une variable x, a coefficients reels (ou complexes), s'ecrit sous la forme : P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0 ou les a_i sont des scalaires fixes et a_n est appele coefficient dominant lorsque a_n != 0.

Degre et coefficient dominant

Le degre deg(P) est le plus grand exposant n tel que a_n != 0. Par exemple, P(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 5 a pour degre 4 et coefficient dominant 3.

Polynome	Degre	Coeff. dominant
5	0	5
2x - 7	1	2
x^3 + x	3	1
0 (polynome nul)	non defini	-

Piege classique

Le polynome nul n'a pas de degre au sens usuel. Par convention, on lui attribue -infini afin que la regle deg(P*Q) = deg(P) + deg(Q) reste valable meme quand l'un des facteurs est nul.

Operations et regles de degre

L'addition se fait coefficient par coefficient : on a toujours deg(P+Q) <= max(deg P, deg Q), avec egalite sauf compensation des termes de plus haut degre. La multiplication utilise la distributivite, par exemple (x+1)(x^2-x+1) = x^3+1. Sur R ou C (anneaux integres), on a exactement deg(P*Q) = deg(P) + deg(Q), une propriete tres utile pour verifier un calcul de factorisation.