Repérer un complexe par sa distance et son angle

La forme algébrique a + ib repère un complexe par ses coordonnées. Mais dans le plan, on peut aussi repérer un point par sa distance à l'origine et par l'angle qu'il forme avec l'axe horizontal. Ce second système est celui qui révèle la vraie nature de la multiplication.

Les deux repérages

              ^
              |         • M(z)
              |        /|
              |    r  / | b
              |      /  |
              |     /θ  |
      --------+----------------->
              O      a

  coordonnées cartésiennes : (a ; b)      ->  z = a + ib
  coordonnées polaires     : (r ; θ)      ->  r = |z|, θ = arg(z)

• r = |z| = √(a² + b²) est le module : la distance OM, toujours positive ;
• θ = arg(z) est l'argument : l'angle orienté entre l'axe des réels et OM.

La forme trigonométrique

Les relations entre les deux systèmes sont celles de la trigonométrie du triangle rectangle :

a = r cos θ            r = √(a² + b²)
b = r sin θ            cos θ = a/r  et  sin θ = b/r

d'où l'écriture, dite forme trigonométrique :

z = r (cos θ + i sin θ)

L'argument est défini modulo 2π

Tourner d'un tour complet ramène au même point : si θ est un argument de z, alors θ + 2π, θ - 2π, θ + 4π en sont aussi. On écrit donc :

arg(z) = θ  [2π]        (« modulo 2π »)

On appelle argument principal celui choisi dans ]-π ; π]. Deux conséquences pratiques :

- le complexe 0 n'a PAS d'argument (aucune direction) ;
- une égalité d'arguments se lit toujours « à 2π près ».

Passer d'une forme à l'autre

Algébrique → trigonométrique. Prenons z = 1 + i√3 :

r = √(1 + 3) = 2

cos θ = 1/2   et   sin θ = √3/2      ->   θ = π/3

z = 2 (cos π/3 + i sin π/3)

Attention au piège : il ne suffit pas de calculer tan θ = b/a, car la tangente ne distingue pas un angle de son opposé décalé de π. Pour z = -1 - i√3, on trouverait aussi tan θ = √3, alors que l'angle vaut -2π/3 et non π/3. Il faut toujours regarder les signes de cos θ et sin θ, c'est-à-dire le quadrant où se trouve le point.

Les valeurs à connaître

z          |z|      arg(z)
---------  -------  --------
1           1        0
-1          1        π
i           1        π/2
-i          1        -π/2
1 + i       √2       π/4
1 + i√3     2        π/3
√3 + i      2        π/6

Le cercle unité — l'ensemble des z de module 1 — joue un rôle central : ses points sont exactement les cos θ + i sin θ.

En résumé

• Le module r = |z| est la distance à l'origine ; l'argument θ est l'angle avec l'axe réel.
• Forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ).
• Conversion : a = r cos θ, b = r sin θ, r = √(a² + b²).
• L'argument est défini modulo 2π ; le complexe 0 n'a pas d'argument.
• Ne jamais conclure avec la seule tangente : vérifier le quadrant par les signes de cos et sin.