Racines n-ièmes et rotations

Dernier apport, et le plus visuel : dans C, extraire une racine n-ième n'a plus rien de mystérieux. Il y a toujours exactement n solutions, et elles dessinent un polygone régulier.

Les racines n-ièmes de l'unité

On cherche les z tels que z^n = 1. En posant z = r e^(iθ) :

r^n e^(inθ) = 1 = 1 × e^(i·0)

  ->  r^n = 1  donc  r = 1      (r est un réel positif)
  ->  nθ = 0 [2π]  donc  θ = 2kπ/n

D'où les n solutions :

z(k) = e^(2ikπ/n)        pour k = 0, 1, 2, ..., n-1

Au-delà de k = n - 1, on retombe sur les mêmes points.

Le dessin

Ces n nombres sont tous de module 1 et régulièrement espacés d'un angle 2π/n : leurs images forment un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité, avec toujours un sommet en 1.

    n = 3                        n = 4                    n = 6
        •                          •                    •     •
       / \                       / | \                 /       \
      /   \                     /  |  \               •         •
     •-----•---• 1              •---+---• 1             \       /
      \   /                      \  |  /                 •     •
       \ /                        \ | /
        •                           •
  1, j, j²  (angles 120°)     1, i, -1, -i          six sommets, 60°

Pour n = 3, on retrouve 1 et les deux solutions de z² + z + 1 = 0 rencontrées au cours précédent : la boucle est bouclée.

Propriété utile : la somme des n racines de l'unité est nulle dès que n ≥ 2 (les vecteurs, régulièrement répartis, se compensent).

Les racines n-ièmes d'un complexe quelconque

Même méthode pour z^n = a, avec a = ρ e^(iφ) :

            n___              φ + 2kπ
z(k) =    ⁿ√ρ   ×  e^( i × --------- )        k = 0, ..., n-1
                                n

On prend la racine n-ième réelle du module, et on partage l'argument en n, décalé de tours complets. Là encore, n solutions formant un polygone régulier — simplement tourné et redimensionné.

Multiplier, c'est tourner

Retenons la lecture géométrique, la plus féconde :

multiplication par e^(iθ)          ->  rotation d'angle θ (module inchangé)
multiplication par i = e^(iπ/2)    ->  quart de tour direct
multiplication par -1 = e^(iπ)     ->  demi-tour

Cela donne une méthode pour composer des transformations : au lieu de multiplier des matrices de rotation, on multiplie des complexes. Une rotation de centre ω et d'angle θ s'écrit ainsi en une formule :

z' - ω = e^(iθ) (z - ω)

C'est l'outil standard des exercices de géométrie du plan, et le principe des quaternions en dimension 3, utilisés en infographie et en robotique pour composer des rotations sans blocage de cardan.

Là où on les rencontre vraiment

Électricité      : un courant sinusoïdal est un « phaseur » A e^(iωt) ;
                   déphaser revient à multiplier par e^(iφ)
Traitement du signal : la transformée de Fourier discrète est bâtie sur les
                   racines n-ièmes de l'unité — c'est ce qui rend la FFT possible
Physique ondulatoire : les interférences s'expliquent par l'addition
                   de vecteurs tournants

La FFT — l'algorithme le plus utilisé de l'informatique numérique — repose entièrement sur les symétries du polygone régulier décrit plus haut.

En résumé

• z^n = 1 a exactement n solutions : e^(2ikπ/n), k = 0 … n-1.
• Elles forment un polygone régulier inscrit dans le cercle unité, un sommet en 1.
• Leur somme est nulle dès que n ≥ 2.
• Pour z^n = a : racine n-ième du module, argument divisé par n, décalé de 2kπ/n.
• Multiplier par e^(iθ), c'est tourner ; une rotation de centre ω s'écrit z' - ω = e^(iθ)(z - ω).
• Ces racines sont le socle de la transformée de Fourier et de la FFT.