La forme exponentielle

La forme trigonométrique est correcte mais lourde. Une notation plus compacte va tout simplifier — et transformer la multiplication en addition.

L'observation de départ

Multiplions deux complexes de module 1 écrits sous forme trigonométrique :

(cos α + i sin α)(cos β + i sin β)
   = cos α cos β - sin α sin β  +  i(sin α cos β + cos α sin β)
   = cos(α + β) + i sin(α + β)

On reconnaît les formules d'addition de la trigonométrie. Le résultat est frappant : multiplier deux complexes de module 1 revient à additionner leurs angles.

Or il existe une fonction connue qui transforme les sommes en produits : l'exponentielle, avec e^x × e^y = e^(x+y). La notation s'impose.

La notation d'Euler

e^(iθ) = cos θ + i sin θ

Tout complexe non nul s'écrit alors sous forme exponentielle :

z = r e^(iθ)          avec r = |z| > 0  et  θ = arg(z)

Ce n'est pas une simple convention d'écriture : en développant en série entière e^x, cos x et sin x, on démontre cette identité. La notation exponentielle est légitime, pas analogique.

Les règles de calcul deviennent triviales

r e^(iα) × r' e^(iβ) = r r' e^(i(α+β))        modules ×, arguments +

     r e^(iα)      r
   ------------ = ---- e^(i(α-β))             modules ÷, arguments -
     r' e^(iβ)     r'

   (r e^(iθ))^n = r^n e^(inθ)                 module ^n, argument ×n

   conjugué de r e^(iθ) = r e^(-iθ)           l'angle change de signe
   inverse  de r e^(iθ) = (1/r) e^(-iθ)

Comparez au calcul en forme algébrique : élever (1 + i) à la puissance 10 demanderait dix développements successifs. En exponentielle :

1 + i = √2 e^(iπ/4)      ->      (1+i)^10 = (√2)^10 e^(i·10π/4)
                                          = 32 e^(i·5π/2)
                                          = 32 e^(iπ/2)  =  32 i

Trois lignes, et aucun risque d'erreur de signe.

Le schéma qui résume tout

             multiplication par r e^(iθ)
        =    rotation d'angle θ  +  agrandissement de rapport r

     ^                              ^
     |   • z                        |      • z' = 2 e^(iπ/3) × z
     |  /                           |     /
     | /                            |    /   (tourné de 60°,
     |/________>                    |___/_____  deux fois plus loin)

C'est la clé de tout le chapitre : un nombre complexe est une transformation du plan, à la fois rotation et dilatation. Multiplier par i = e^(iπ/2), c'est tourner d'un quart de tour.

L'identité d'Euler

Pour θ = π, la formule donne :

e^(iπ) = cos π + i sin π = -1        d'où        e^(iπ) + 1 = 0

Cette égalité relie en cinq symboles les constantes fondamentales de l'analyse (e), de la géométrie (π), de l'algèbre (i), et les deux neutres 0 et 1. Elle est régulièrement citée comme la plus belle formule des mathématiques.

En résumé

• e^(iθ) = cos θ + i sin θ ; tout complexe non nul s'écrit z = r e^(iθ).
• Produit : modules multipliés, arguments additionnés.
• Puissance : (r e^(iθ))^n = r^n e^(inθ) — le calcul devient immédiat.
• Conjugué : r e^(-iθ) ; inverse : (1/r) e^(-iθ).
• Multiplier par r e^(iθ), c'est tourner de θ et dilater de r.
• e^(iπ) + 1 = 0 : l'identité d'Euler.