Ce que l'exponentielle complexe permet

Moivre, Euler et la trigonométrie

Une fois l'exponentielle complexe en main, la trigonométrie cesse d'être une liste de formules à retenir : elle se recalcule en trois lignes.

La formule de Moivre

En écrivant (e^(iθ))^n = e^(inθ) sous forme trigonométrique :

(cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ)

C'est la formule de Moivre. Elle permet d'exprimer cos(nθ) et sin(nθ) en fonction de cos θ et sin θ. Pour n = 2 :

(cos θ + i sin θ)² = cos²θ - sin²θ + 2i sin θ cos θ
                   = cos 2θ + i sin 2θ

En identifiant parties réelles et parties imaginaires — une égalité complexe vaut deux égalités réelles — on retrouve d'un coup :

cos 2θ = cos²θ - sin²θ           et           sin 2θ = 2 sin θ cos θ

Les formules de duplication ne sont plus à apprendre par cœur : elles se retrouvent en une ligne. Le même calcul avec n = 3 donne cos 3θ = 4cos³θ - 3cos θ.

Les formules d'Euler

Dans l'autre sens, en additionnant et en soustrayant e^(iθ) et e^(-iθ) :

e^(iθ)  = cos θ + i sin θ
e^(-iθ) = cos θ - i sin θ

             e^(iθ) + e^(-iθ)                    e^(iθ) - e^(-iθ)
   cos θ = --------------------        sin θ = --------------------
                    2                                 2i

Ces deux formules permettent la linéarisation : transformer un produit ou une puissance de fonctions trigonométriques en une somme, ce qui rend une intégrale calculable.

              e^(iθ) + e^(-iθ)  ²      e^(2iθ) + 2 + e^(-2iθ)      1 + cos 2θ
cos²θ =     ( ------------------ )  =  ------------------------  = ------------
                      2                          4                      2

Intégrer cos²θ était impossible tel quel ; sous la forme (1 + cos 2θ)/2, c'est immédiat. C'est l'usage quotidien de ces formules en analyse et en physique.

Le dictionnaire

Ce qu'on veut faire                      L'outil
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développer cos(nθ) en puissances de cos  Moivre
linéariser cos^n θ en somme de cos(kθ)   Euler
calculer une intégrale trigonométrique   Euler, puis on intègre
sommer des cosinus                       passer en exponentielle

Un exemple de somme

Comment calculer cos 0 + cos θ + cos 2θ + … + cos nθ ? En passant aux exponentielles, cette somme devient la partie réelle d'une suite géométrique de raison e^(iθ), dont on connaît la somme. Ce qui semblait un empilement de cosinus se réduit à une formule fermée.

C'est exactement le mécanisme qu'exploitent l'analyse de Fourier et le traitement du signal : décomposer un phénomène en somme d'exponentielles complexes, calculer sur les exponentielles, puis revenir au réel.

En résumé