Ce que la forme échelonnée révèle

Systèmes homogènes et solutions paramétrées

Parmi tous les systèmes, ceux dont le second membre est nul jouent un rôle particulier. Ils s'appellent homogènes, et ils donnent la structure de toutes les solutions.

Le système homogène

Un système est homogène quand toutes ses équations valent zéro à droite :

{ 2x + 3y -  z = 0
{  x -  y + 2z = 0

Un tel système n'est jamais incompatible : x = y = z = 0 est toujours solution. On l'appelle la solution triviale (ou nulle). La vraie question n'est donc pas « y a-t-il une solution ? » mais « y en a-t-il d'autres que la nulle ? ».

La réponse tient au rang :

r = n   ->  la solution nulle est la SEULE
r < n   ->  il existe une infinité de solutions non nulles

Ce que dessinent les solutions

L'ensemble des solutions d'un système homogène n'est pas un nuage quelconque : il passe par l'origine et il est stable par addition et par multiplication par un nombre. Si u et v sont solutions, alors u + v et 3u le sont aussi.

Géométriquement, c'est toujours l'un de ces objets :

    {0}                droite par O            plan par O
     •                      /                  ________
   (le seul               /  •                /_______/
    point O)            /                    (tout un plan)

  n - r = 0            n - r = 1              n - r = 2

C'est le premier exemple de sous-espace vectoriel — la notion étudiée dans le cours sur les espaces vectoriels. Sa dimension vaut exactement n - r.

Le lien avec le système complet

Voici le résultat qui structure tout le chapitre. Soit un système A X = B et le système homogène associé A X = 0. Si X0 est une solution particulière du système complet, alors :

  solutions de A X = B   =   X0   +   toutes les solutions de A X = 0
                             ^^                    ^^
                    une solution particulière   la partie homogène

Autrement dit : solution générale = solution particulière + solution homogène. Géométriquement, l'ensemble des solutions est la droite (ou le plan) homogène translatée de X0 :

        solutions de AX = 0        solutions de AX = B
             /                          /
            /  (droite par O)          /   (même direction,
           /                          /     décalée de X0)
          O                          X0

Deux systèmes de même partie gauche ont donc des ensembles de solutions parallèles : même forme, même dimension, position différente.

Écrire proprement une infinité de solutions

Reprenons x + 2y - z = 0 avec trois inconnues et un seul pivot : n - r = 2 paramètres. On pose y = s et z = t, d'où x = -2s + t :

(x ; y ; z) = (-2s + t ; s ; t)
            = s(-2 ; 1 ; 0) + t(1 ; 0 ; 1)      avec s, t réels quelconques

Cette écriture est la bonne : elle exhibe deux vecteurs dont toutes les combinaisons donnent exactement les solutions. Ces deux vecteurs forment une base du plan des solutions. Répondre « il y a une infinité de solutions » sans les paramétrer, c'est s'arrêter au milieu du travail.

En résumé