Résoudre plusieurs équations à la fois

Qu'est-ce qu'un système linéaire ?

Un système linéaire, c'est plusieurs équations du premier degré qui doivent être vraies en même temps. C'est l'outil le plus utilisé de toute l'algèbre linéaire : équilibrer une réaction chimique, ajuster une droite sur des mesures, calculer les courants d'un circuit, tout finit en système.

Ce qu'on appelle « linéaire »

Une équation est linéaire quand chaque inconnue y apparaît à la puissance 1, sans être multipliée par une autre inconnue et sans passer dans une fonction.

Linéaire              Pas linéaire
--------              ------------
2x + 3y = 7           x^2 + y = 7      (carré)
x - y + 4z = 0        xy = 5           (produit d'inconnues)
0.5a + b = -1         sin(x) + y = 1   (fonction)

Un système de deux équations à deux inconnues s'écrit donc :

{ 2x + 3y = 8
{  x -  y = -1

Résoudre le système, c'est trouver tous les couples (x ; y) qui vérifient les deux lignes à la fois. Ici le couple (x ; y) = (1 ; 2) convient : 2×1 + 3×2 = 8 et 1 - 2 = -1. Encore faut-il le trouver autrement qu'en tâtonnant — c'est tout l'objet de ce cours.

Chaque équation est une droite

C'est la lecture géométrique, et elle explique tout. Dans le plan, l'ensemble des points (x ; y) vérifiant 2x + 3y = 8 forme une droite. Résoudre un système de deux équations, c'est donc chercher les points communs à deux droites.

Il n'y a que trois configurations possibles :

 Droites sécantes        Droites parallèles       Droites confondues
                            (distinctes)
      \   /                 ______                    ______
       \ /                  ______                    ======
       / \                                          (superposées)
      /   \

  1 point commun          aucun point commun       une infinité de points
  UNE solution            AUCUNE solution          UNE INFINITÉ de solutions
  (système compatible)    (incompatible)           (compatible indéterminé)

Voilà le fait central : un système linéaire a zéro, une, ou une infinité de solutions — jamais deux, jamais cinq. Cette trichotomie reste vraie avec 3, 10 ou 1000 inconnues.

Avec trois inconnues

Avec trois inconnues, chaque équation ax + by + cz = d décrit un plan dans l'espace. Le système traduit l'intersection de plusieurs plans :

Trois plans qui se coupent en un point   -> 1 solution
Trois plans qui se coupent selon une droite -> infinité de solutions
Deux plans parallèles distincts          -> aucune solution

Un exemple qui vient de la vraie vie

Deux entrées et trois enfants coûtent 31 €, une entrée et un enfant coûtent 12 €. Quel est le prix de chaque billet ?

{ 2a + 3e = 31
{  a +  e = 12

La deuxième ligne donne a = 12 - e. En remplaçant dans la première : 2(12 - e) + 3e = 31, donc 24 + e = 31, donc e = 7 et a = 5.

Cette méthode de substitution marche bien sur deux équations. Au-delà, elle devient vite illisible : c'est pourquoi on lui préfère le pivot de Gauss, vu dans la leçon suivante.

En résumé