Le pivot de Gauss

La méthode du pivot de Gauss est l'algorithme de référence pour résoudre un système, quelle que soit sa taille. Elle est mécanique, elle ne se trompe jamais, et c'est elle que tout ordinateur applique.

L'idée : simplifier sans changer les solutions

Trois opérations, dites élémentaires, transforment un système en un autre système qui a exactement les mêmes solutions :

1. échanger deux lignes                      L2 <-> L3
2. multiplier une ligne par un nombre non nul  L2 <- 3 L2
3. ajouter à une ligne un multiple d'une autre L3 <- L3 - 2 L1

Chacune est réversible : on peut revenir en arrière, donc rien n'est perdu ni ajouté. Le but est d'atteindre une forme échelonnée — un escalier de zéros — où la lecture des solutions devient immédiate.

Le tableau des coefficients

On n'écrit plus les inconnues, seulement les nombres, dans un tableau appelé matrice augmentée :

{ x + 2y +  z =  8            [ 1   2   1 |  8 ]
{ 2x + 5y + 3z = 21    -->    [ 2   5   3 | 21 ]
{ -x +  y + 2z =  3           [-1   1   2 |  3 ]
                                ^   ^   ^    ^
                                x   y   z   second membre

La descente : créer les zéros

On choisit le pivot — le premier coefficient non nul de la ligne, ici le 1 en haut à gauche — et on s'en sert pour annuler tout ce qui est en dessous dans sa colonne.

[ 1   2   1 |  8 ]                    [ 1   2   1 |  8 ]
[ 2   5   3 | 21 ]  L2 <- L2 - 2L1    [ 0   1   1 |  5 ]
[-1   1   2 |  3 ]  L3 <- L3 + L1     [ 0   3   3 | 11 ]

puis avec le pivot 1 de la 2e ligne :

                                      [ 1   2   1 |  8 ]
                    L3 <- L3 - 3L2    [ 0   1   1 |  5 ]
                                      [ 0   0   0 | -4 ]

L'escalier est formé. On lit la dernière ligne : 0x + 0y + 0z = -4, c'est-à-dire 0 = -4. Impossible. Ce système n'a aucune solution : les plans n'ont pas de point commun.

Un cas qui aboutit

Reprenons le même système, mais avec une troisième équation différente : -x + y + 4z = 13.

[ 1   2   1 |  8 ]                    [ 1   2   1 |  8 ]
[ 2   5   3 | 21 ]  L2 <- L2 - 2L1    [ 0   1   1 |  5 ]
[-1   1   4 | 13 ]  L3 <- L3 + L1     [ 0   3   5 | 21 ]

                    L3 <- L3 - 3L2    [ 0   0   2 |  6 ]

Ici la dernière ligne dit 2z = 6, donc z = 3. On remonte alors l'escalier :

ligne 3 :  z = 3
ligne 2 :  y + z = 5     ->  y = 5 - 3 = 2
ligne 1 :  x + 2y + z = 8 -> x = 8 - 4 - 3 = 1

Solution unique : (x ; y ; z) = (1 ; 2 ; 3)

Cette seconde phase s'appelle la remontée (ou substitution arrière).

Pourquoi c'est la bonne méthode

Le pivot de Gauss est systématique : aucun choix astucieux à faire, on suit la procédure. Son coût de calcul croît comme n^3 pour n inconnues, ce qui reste raisonnable ; c'est encore la base des bibliothèques de calcul scientifique aujourd'hui.

En pratique, on choisit souvent comme pivot le coefficient de plus grande valeur absolue de la colonne (pivot partiel) : diviser par un tout petit nombre amplifie les erreurs d'arrondi de l'ordinateur.

En résumé

• Trois opérations élémentaires conservent l'ensemble des solutions.
• On travaille sur la matrice augmentée, sans réécrire les inconnues.
• Descente : créer des zéros sous chaque pivot jusqu'à la forme échelonnée.
• Remontée : lire les inconnues de bas en haut.
• Une ligne 0 = c avec c non nul signale un système sans solution.
• Le pivot partiel (plus grand coefficient) limite les erreurs numériques.