Ce que la forme échelonnée révèle

Rang, pivots et nombre de solutions

Une fois le système échelonné, on lit son destin dans sa forme. Le mot clé est rang : le nombre de pivots.

Compter les pivots

Le rang d'un système est le nombre de lignes non nulles de sa forme échelonnée — autrement dit le nombre de pivots. C'est le nombre d'équations réellement indépendantes : celles qui apportent une information nouvelle.

[ 1   2   1 |  8 ]   <- pivot
[ 0   1   1 |  5 ]   <- pivot            rang = 2
[ 0   0   0 |  0 ]   <- ligne vide (l'équation était redondante)

Une ligne devenue entièrement nulle signifie qu'une équation de départ était une combinaison des autres : elle ne disait rien de neuf.

L'arbre de décision

Avec n inconnues et un rang r, tout se joue en deux questions :

                Une ligne « 0 = c » avec c ≠ 0 ?
                        /              \
                     OUI               NON
                      |                  |
              AUCUNE solution      comparer r et n
              (incompatible)         /          \
                                  r = n        r < n
                                    |             |
                             UNE solution   INFINITÉ de solutions
                                            (n - r paramètres libres)

Le nombre n - r porte un nom : c'est le degré de liberté du système, le nombre d'inconnues que l'on peut choisir arbitrairement.

Inconnues principales et inconnues libres

Quand r < n, on distingue :

les inconnues principales : celles qui portent un pivot ;
les inconnues libres (ou secondaires) : les autres, que l'on prend comme paramètres.

[ 1   2   0   3 |  5 ]        pivots en colonnes 1 et 3
[ 0   0   1  -1 |  2 ]
[ 0   0   0   0 |  0 ]

x1, x3 : principales      x2, x4 : libres      n - r = 4 - 2 = 2

On exprime alors les principales en fonction des libres :

x3 = 2 + x4
x1 = 5 - 2x2 - 3x4

L'ensemble des solutions se décrit avec deux paramètres, disons x2 = s et x4 = t.

Trop d'équations, pas assez d'équations

Deux intuitions utiles, à condition de ne pas les confondre avec des règles absolues :

moins d'équations que d'inconnues (m < n) : le rang est au plus m, donc r < n. Un tel système, s'il a une solution, en a forcément une infinité. Il ne peut jamais avoir une solution unique.
plus d'équations que d'inconnues : le système est dit surdéterminé. Il est souvent incompatible — c'est le cas typique des mesures expérimentales, que l'on traite alors par la méthode des moindres carrés plutôt qu'en cherchant une solution exacte.

Attention : ces règles portent sur le rang, pas sur le nombre de lignes écrites. Trois équations dont deux identiques n'ont qu'un rang de 2.

En résumé