Les suites geometriques

Definition

Une suite (u_n) est geometrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le meme nombre, appele raison et note q (avec q != 0) : u_(n+1) = u_n * q pour tout entier n

Formule explicite

A partir du premier terme u_0 et de la raison q, on demontre que : u_n = u_0 * q^n

Exemple : u_0 = 2 et q = 3. Alors u_n = 2 * 3^n, donc u_4 = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162.

Sens de variation (pour u_0 > 0)

Valeur de q	Comportement de la suite
q > 1	croissante, les termes explosent
q = 1	constante
0 < q < 1	decroissante, les termes tendent vers 0
q < 0	les termes alternent de signe

Somme de termes consecutifs

Si q != 1, la somme des n+1 premiers termes (de u_0 a u_n) vaut : Somme = u_0 * (1 - q^(n+1)) / (1 - q)

Exemple : u_0 = 1, q = 2, somme de u_0 a u_3 : 1 * (1 - 2^4) / (1 - 2) = (1 - 16) / (-1) = 15.

Piege classique

Si q < 0, les termes alternent de signe : ne va pas conclure trop vite que la suite est croissante ou decroissante, ce vocabulaire ne s'applique plus simplement. Autre piege : la formule de la somme ne fonctionne que si q est different de 1, sinon il suffit d'additionner le meme terme plusieurs fois.