Suite definie par formule explicite ou par recurrence

Formule explicite

Une suite est definie par une formule explicite quand on peut calculer directement u_n en fonction de n, sans connaitre les termes precedents. C'est le mode de definition le plus pratique pour obtenir un terme lointain.

Exemple : u_n = n^2 - 3. On calcule immediatement u_5 = 5^2 - 3 = 22, sans passer par u_0, u_1, u_2, u_3 ni u_4.

Formule de recurrence

Une suite est definie par recurrence quand on donne le premier terme (u_0 par exemple), puis une regle qui permet de calculer u_(n+1) a partir de u_n : u_(n+1) = f(u_n).

Exemple : u_0 = 2 et u_(n+1) = u_n + 3 pour tout n. On calcule alors de proche en proche : u_1 = u_0 + 3 = 5, u_2 = u_1 + 3 = 8, u_3 = u_2 + 3 = 11.

Tableau comparatif

Type	Avantage	Inconvenient
Formule explicite	Calcul direct de n'importe quel terme	Pas toujours facile a trouver
Formule de recurrence	Facile a construire pas a pas	Impossible de sauter directement a u_100 sans calculer tous les termes avant

Piege classique

Avec une suite definie par recurrence, on ne peut pas calculer u_50 en remplacant simplement n par 50 dans la formule de recurrence : il faut soit calculer tous les termes un par un, soit demontrer une formule explicite equivalente (ce que l'on apprendra pour les suites arithmetiques et geometriques). Attention aussi a bien reperer si la relation donne u_(n+1) en fonction de u_n, ou u_n en fonction de u_(n-1) : le decalage d'indice change le calcul.