La somme de Riemann et sa limite

La somme des aires des rectangles porte un nom : la somme de Riemann. En notant x_k les points de découpage, elle s'écrit de façon compacte avec le symbole somme :

   Sₙ = Σ (de k=1 à n)  f(x_k) · Δx        avec  Δx = (b − a)/n

Sₙ n'est qu'une approximation de l'aire. Mais quand on fait tendre le nombre de rectangles vers l'infini, leur largeur Δx tend vers 0, les débordements et les trous s'effacent, et la somme converge vers une valeur exacte. C'est la définition de l'intégrale :

   ∫ (de a à b) f(x) dx  =  lim (n → +∞)  Σ f(x_k)·Δx

Cette formule éclaire enfin la notation. Le signe ∫ est un « S » allongé, pour somme. Le « dx » est ce que devient Δx à la limite : une largeur infiniment petite. L'intégrale est donc, littéralement, une somme continue de bandes infiniment fines de hauteur f(x) et de largeur dx.

   somme discrete        ->  integrale (limite)
   Σ f(x_k) · Δx         ->  ∫ f(x) dx
   (n rectangles)            (n -> ∞, Δx -> 0)

Retiens l'essentiel : l'intégrale n'est pas une formule magique, c'est l'aboutissement d'un empilement de rectangles de plus en plus fins. Tout le calcul intégral repose sur cette idée.