La somme de Riemann et sa limite

La somme des aires des rectangles porte un nom : la somme de Riemann. En notant $x_k$ les points de découpage, elle s'écrit de façon compacte avec le symbole somme :

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x, \qquad \text{avec } \Delta x = \frac{b - a}{n}$$

$S_n$ n'est qu'une approximation de l'aire. Mais quand on fait tendre le nombre de rectangles vers l'infini, leur largeur $\Delta x$ tend vers $0$, les débordements et les trous s'effacent, et la somme converge vers une valeur exacte. C'est la définition de l'intégrale :

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$$

Cette formule éclaire enfin la notation. Le signe $\int$ est un « S » allongé, pour somme. Le $\mathrm{d}x$ est ce que devient $\Delta x$ à la limite : une largeur infiniment petite. L'intégrale est donc, littéralement, une somme continue de bandes infiniment fines, de hauteur $f(x)$ et de largeur $\mathrm{d}x$.

Somme discrète	Intégrale, à la limite
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$	$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$
$n$ rectangles	$n \to +\infty$, donc $\Delta x \to 0$

Retiens l'essentiel : l'intégrale n'est pas une formule magique, c'est l'aboutissement d'un empilement de rectangles de plus en plus fins. Tout le calcul intégral repose sur cette idée.