Sommes à gauche, à droite, au point milieu

Pour dresser chaque rectangle, il faut choisir où lire la hauteur $f(x_k)$ sur le morceau. Trois choix classiques :

Somme	Hauteur du rectangle
à gauche	$f$ au bord gauche de chaque morceau
à droite	$f$ au bord droit de chaque morceau
au point milieu	$f$ au milieu de chaque morceau

Pour une fonction croissante, ces choix encadrent l'aire réelle : les rectangles à gauche sont trop bas et sous-estiment l'aire, tandis que ceux à droite sont trop hauts et la sur-estiment.

$$\sum_{k} f(x_{k-1})\,\Delta x \;\leq\; \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \;\leq\; \sum_{k} f(x_k)\,\Delta x \qquad (f \text{ croissante})$$

L'aire exacte est ainsi prise en sandwich entre les deux — un excellent moyen d'obtenir un encadrement.

Le point milieu, lui, compense les débordements de part et d'autre et donne en général une bien meilleure approximation, même avec peu de rectangles.

Quel que soit le choix, un résultat rassurant : quand $n$ tend vers l'infini, les trois sommes convergent vers la même limite, l'intégrale. Le choix du point n'influe que sur la vitesse d'approche, pas sur la valeur finale. C'est ce qui rend la définition de l'intégrale solide et sans ambiguïté.