Sommes à gauche, à droite, au point milieu

Pour dresser chaque rectangle, il faut choisir où lire la hauteur f(x_k) sur le morceau. Trois choix classiques :

   somme a gauche     hauteur = f au bord GAUCHE de chaque morceau
   somme a droite     hauteur = f au bord DROIT de chaque morceau
   point milieu       hauteur = f au MILIEU de chaque morceau

Pour une fonction croissante, ces choix encadrent l'aire réelle :

   f croissante :
     rectangles a gauche  ->  trop BAS  ->  SOUS-estiment l'aire
     rectangles a droite  ->  trop HAUT ->  SUR-estiment l'aire
     ___
    |   |___              (a gauche : les rectangles rentrent sous la courbe)
    |   |   |
    +---+---+

Ainsi, pour f croissante, la somme à gauche est inférieure à l'aire, et la somme à droite lui est supérieure. L'aire exacte est prise en sandwich entre les deux — un excellent moyen d'obtenir un encadrement.

Le point milieu, lui, compense les débordements de part et d'autre et donne en général une bien meilleure approximation, même avec peu de rectangles.

Quel que soit le choix, un résultat rassurant : quand n tend vers l'infini, les trois sommes convergent vers la même limite, l'intégrale. Le choix du point n'influe que sur la vitesse d'approche, pas sur la valeur finale. C'est ce qui rend la définition de l'intégrale solide et sans ambiguïté.