Reconnaître une somme de Riemann pour calculer une limite

Le lien somme–intégrale se lit aussi à l'envers : certaines limites de sommes, impossibles à calculer directement, se révèlent être des intégrales déguisées. C'est un outil puissant.

Prenons le cas le plus courant, sur l'intervalle $[0 \,;\, 1]$. Ici $a = 0$ et $b = 1$, donc $\Delta x = \tfrac{1}{n}$ et les points sont $x_k = \tfrac{k}{n}$. La définition devient :

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$$

Autrement dit : dès qu'une somme a la forme « $\tfrac{1}{n}$ fois une somme de $f\!\left(\tfrac{k}{n}\right)$ », sa limite est simplement l'intégrale de $f$ sur $[0 \,;\, 1]$.

Exemple. Que vaut la limite de la somme suivante ?

$$\frac{1}{n}\left[\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \left(\frac{2}{n}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{n}{n}\right)^2\right] = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2$$

On reconnaît la forme, avec $f(x) = x^2$. La limite est donc :

$$\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$$

Une somme dont on ne voyait pas la fin se calcule d'un trait, en la lisant comme une aire. Retiens la démarche : repérer le facteur $\tfrac{1}{n}$, identifier $f\!\left(\tfrac{k}{n}\right)$, puis remplacer la limite par l'intégrale sur $[0 \,;\, 1]$. C'est l'une des plus belles passerelles entre le discret et le continu.