Reconnaître une somme de Riemann pour calculer une limite

Le lien somme–intégrale se lit aussi à l'envers : certaines limites de sommes, impossibles à calculer directement, se révèlent être des intégrales déguisées. C'est un outil puissant.

Prenons le cas le plus courant, sur l'intervalle [0 ; 1]. Ici a = 0, b = 1, donc Δx = 1/n et les points sont x_k = k/n. La définition devient :

   lim (n → +∞)  (1/n) · Σ (de k=1 à n) f(k/n)  =  ∫ (de 0 à 1) f(x) dx

Autrement dit : dès qu'une somme a la forme « 1/n fois une somme de f(k/n) », sa limite est simplement l'intégrale de f sur [0 ; 1].

Exemple. Que vaut la limite de la somme suivante ?

   1/n · [ (1/n)² + (2/n)² + ... + (n/n)² ]  =  (1/n) Σ (k/n)²

On reconnaît la forme, avec f(x) = x². La limite est donc :

   ∫ (de 0 à 1) x² dx  =  [ x³/3 ]  de 0 a 1  =  1/3

Une somme dont on ne voyait pas la fin se calcule d'un trait, en la lisant comme une aire. Retiens la démarche : repérer le facteur 1/n, identifier f(k/n), et remplacer la limite par l'intégrale sur [0 ; 1]. C'est l'une des plus belles passerelles entre le discret et le continu.