Approcher une aire par des rectangles

Comment mesurer l'aire sous la courbe d'une fonction $f$ entre $a$ et $b$, quand la région n'a aucune forme géométrique connue ? L'idée de Riemann est d'une simplicité désarmante : découper et approcher par des rectangles.

On partage l'intervalle $[a \,;\, b]$ en $n$ morceaux de même largeur. Chaque morceau mesure :

$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$

Sur chaque morceau, on dresse un rectangle dont la hauteur est la valeur de $f$ en un point du morceau. La somme des aires de ces rectangles approche l'aire cherchée.

Chaque rectangle a pour aire hauteur $\times$ largeur, soit $f(x_i)\,\Delta x$. En les additionnant tous, on obtient une valeur approchée de l'aire :

$$S = f(x_1)\,\Delta x + f(x_2)\,\Delta x + \cdots + f(x_n)\,\Delta x$$

Avec peu de rectangles, l'approximation est grossière : les rectangles débordent ou laissent des trous. Mais l'intuition est claire — plus les rectangles sont fins, c'est-à-dire plus $n$ est grand, meilleure est l'approximation. C'est ce passage à la limite qui va définir l'intégrale, l'objet de la leçon suivante.