Approcher une aire par des rectangles

Comment mesurer l'aire sous la courbe d'une fonction f entre a et b, quand la région n'a aucune forme géométrique connue ? L'idée de Riemann est d'une simplicité désarmante : découper et approcher par des rectangles.

On partage l'intervalle [a ; b] en n morceaux de même largeur. Chaque morceau mesure :

   Δx = (b − a) / n        (largeur d'un rectangle)

Sur chaque morceau, on dresse un rectangle dont la hauteur est la valeur de f en un point du morceau. La somme des aires de ces rectangles approche l'aire cherchée.

   f(x)
    |          _____
    |      ___|     |__
    |   __|  |  |   |  |__
    |  |  |  |  |   |  |  |
    +--+--+--+--+---+--+--+--> x
    a                       b
     <-Δx->  (n rectangles de largeur Δx)

Chaque rectangle a pour aire (hauteur × largeur) = f(x_i) · Δx. En les additionnant tous, on obtient une valeur approchée de l'aire :

   S = f(x₁)·Δx + f(x₂)·Δx + ... + f(xₙ)·Δx

Avec peu de rectangles, l'approximation est grossière : les rectangles débordent ou laissent des trous. Mais l'intuition est claire : plus les rectangles sont fins (n grand), plus l'approximation est bonne. C'est ce passage à la limite qui va définir l'intégrale — l'objet de la leçon suivante.