La probabilité conditionnelle P(A sachant B)

L'idée : une information qui change la donne

La probabilité conditionnelle de A sachant B, notée P(A|B), représente la probabilité que l'évènement A se réalise, sachant que l'on sait déjà que l'évènement B s'est réalisé. Savoir que B a eu lieu restreint l'univers des possibles à B, ce qui change généralement la probabilité de A.

Formule

Si P(B) est différent de 0, on définit :

P(A sachant B) = P(A intersection B) / P(B)

(A intersection B designe l'evenement "A et B se realisent tous les deux")
(cette division n'a de sens que si P(B) est strictement positif)

On en déduit immédiatement la formule des probabilités composées, très utile en pratique :

P(A intersection B) = P(B) x P(A sachant B)

Exemple numérique

Dans un groupe, 40 pourcents des personnes pratiquent un sport (évènement B), et parmi elles, 25 pourcents pratiquent aussi un instrument de musique (évènement A sachant B). La probabilité qu'une personne prise au hasard pratique à la fois un sport et un instrument est :

P(A intersection B) = P(B) x P(A|B) = 0,40 x 0,25 = 0,10, soit 10 pourcents du groupe.

Piège classique

Ne confonds jamais P(A|B) avec P(B|A) : ce sont deux quantités généralement différentes. Par exemple, la probabilité d'être malade sachant que le test est positif n'est pas la même chose que la probabilité que le test soit positif sachant qu'on est malade (voir la leçon sur le test médical). Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente sur ce chapitre.