Indépendance et application : le test médical

Définir l'indépendance

Deux évènements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un ne change rien à la probabilité de l'autre, c'est-à-dire si P(A sachant B) = P(A). Dans ce cas, la formule des probabilités composées se simplifie : P(A intersection B) = P(A) x P(B).

Application : un test médical

On teste une maladie D dont la prévalence dans la population est P(D) = 1/100 (1 pourcent). Le test a une sensibilité de 99 pourcents (P(test positif sachant malade) = 0,99) et un taux de faux positifs de 5 pourcents (P(test positif sachant non malade) = 0,05).

Arbre de probabilite du test medical :

                       0,99             (test +  sachant D)
                 /----------- +
                /
     D (0,01) --
                \
                 \----------- -        0,01              (test -  sachant D)

                       0,05             (test +  sachant non-D)
                 /----------- +
                /
 non-D (0,99) --
                \
                 \----------- -        0,95              (test -  sachant non-D)

(D = malade, non-D = pas malade ; + = test positif, - = test negatif)
(chaque paire de branches somme a 1 : 0,99+0,01=1 et 0,05+0,95=1)

Calcul de la probabilité d'être malade sachant un test positif

On calcule d'abord P(test positif) avec la formule des probabilités totales :

P(+) = P(D) x P(+|D) + P(non-D) x P(+|non-D) = 0,01 x 0,99 + 0,99 x 0,05 = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594

Puis on applique la définition de la probabilité conditionnelle :

P(D sachant +) = P(D intersection +) / P(+) = 0,0099 / 0,0594 = 1/6, soit environ 16,7 pourcents.

Piège classique

Même avec un test très sensible (99 pourcents), la probabilité d'être réellement malade sachant un test positif reste faible (environ 16,7 pourcents seulement) quand la maladie est rare : c'est parce que les faux positifs, appliqués à une immense population de non-malades, finissent par dépasser en nombre les vrais positifs. Confondre P(+ sachant D), qui est de 99 pourcents, avec P(D sachant +), qui n'est que de 16,7 pourcents, est le piège central de cette leçon.