Construire et lire un arbre de probabilité

Le principe de l'arbre

Un arbre de probabilité représente une succession d'évènements par des branches. Chaque niveau de l'arbre correspond à une étape (un tirage, un test...), et chaque branche porte la probabilité de l'évènement correspondant, sachant tout ce qui a été choisi avant elle.

Règles de lecture d'un arbre

1. Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches qui en partent vaut toujours 1 (on est sûr d'aller quelque part).
2. La probabilité d'un chemin complet (de la racine à une feuille) s'obtient en multipliant les probabilités le long du chemin.
3. La probabilité d'un évènement final s'obtient en additionnant les probabilités de tous les chemins qui y mènent.

Schéma : arbre pour un tirage de 2 boules sans remise

Une urne contient 3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B), soit 5 boules en tout. On tire 2 boules sans remise, l'une après l'autre.

Arbre de probabilite (tirage sans remise, 2 boules) :

                          3/5                 2/4
                    /----------- R1 -----|----------- R2   (chemin RR : proba 3/5 x 2/4)
                   /                     |
                  /                      \----------- 2/4  B2   (chemin RB : proba 3/5 x 2/4)
                 /
     DEPART -----
                 \
                  \                       /----------- 3/4  R2   (chemin BR : proba 2/5 x 3/4)
                   \                     |
                    \----------- B1 -----|----------- 1/4  B2   (chemin BB : proba 2/5 x 1/4)
                          2/5

(1er niveau : tirage de la 1ere boule, 3/5 rouge ou 2/5 bleue)
(2e niveau : tirage de la 2eme boule, probabilite mise a jour car une boule est deja sortie)
(chaque chemin complet = produit des probabilites rencontrees)

Vérification que tout somme à 1

En multipliant le long de chaque chemin : P(RR) = 3/5 x 2/4 = 6/20 = 3/10 ; P(RB) = 3/5 x 2/4 = 6/20 = 3/10 ; P(BR) = 2/5 x 3/4 = 6/20 = 3/10 ; P(BB) = 2/5 x 1/4 = 2/20 = 1/10. La somme vaut 3/10 + 3/10 + 3/10 + 1/10 = 10/10 = 1 : c'est une vérification indispensable, car les quatre chemins couvrent tous les cas possibles.

Piège classique

Sans remise, les probabilités du deuxième niveau CHANGENT selon la branche empruntée au premier niveau (il ne reste plus les mêmes boules dans l'urne). Oublier de mettre à jour ces probabilités (par exemple garder 3/5 et 2/5 partout comme si on remettait la boule) est l'erreur la plus courante lors de la construction d'un arbre.