La formule des probabilités totales

Le principe : additionner tous les chemins possibles

Quand un évènement final peut se produire par plusieurs chemins différents dans un arbre, la formule des probabilités totales dit qu'il faut additionner les probabilités de tous les chemins qui mènent à cet évènement.

Cas de deux évènements complémentaires

Si B et son évènement contraire (non-B) partagent tout l'univers (B se produit ou non-B se produit, jamais les deux, jamais ni l'un ni l'autre), alors pour tout évènement A :

P(A) = P(B) x P(A sachant B) + P(non-B) x P(A sachant non-B)

(on additionne les deux seuls chemins possibles qui menent a A)
(P(B) + P(non-B) = 1, car B et non-B couvrent tout l'univers)

Cette formule se généralise à plus de deux branches au premier niveau : il suffit d'additionner un terme "P(branche) x P(A sachant cette branche)" pour chaque branche du premier niveau.

Exemple

Une usine reçoit des pièces de deux fournisseurs : le fournisseur 1 livre 70 pourcents des pièces avec un taux de défaut de 2 pourcents, le fournisseur 2 livre 30 pourcents des pièces avec un taux de défaut de 5 pourcents. La probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse est :

P(défaut) = 0,70 x 0,02 + 0,30 x 0,05 = 0,014 + 0,015 = 0,029, soit 2,9 pourcents.

Piège classique

Il faut que les branches du premier niveau forment bien une partition complète de l'univers (elles couvrent tout, sans se chevaucher) pour appliquer directement cette formule. Oublier une branche (un troisième fournisseur, par exemple) fausse complètement le résultat : la somme des probabilités des branches doit toujours valoir 1 avant d'appliquer la formule.