Le produit matriciel : ligne par colonne

Une règle différente de l'addition

Contrairement à l'addition, le produit de deux matrices ne se fait pas case par case. Pour multiplier A (de taille n x k) par B (de taille k x p), il faut que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B. Le résultat A x B est alors une matrice de taille n x p.

La règle ligne x colonne

Chaque coefficient du résultat s'obtient en prenant une ligne entière de A et une colonne entière de B, en multipliant les termes un à un dans l'ordre, puis en additionnant le tout.

Produit A x B, avec A = [[1,2],[3,4]] et B = [[5,6],[7,8]] :

         colonne1  colonne2
         [ 5 ]     [ 6 ]
         [ 7 ]     [ 8 ]

ligne1 [1 2]  ->  1*5 + 2*7 = 5+14 = 19   |   1*6 + 2*8 = 6+16 = 22
ligne2 [3 4]  ->  3*5 + 4*7 = 15+28 = 43  |   3*6 + 4*8 = 18+32 = 50

Resultat :
         [ 19  22 ]
A x B =  [ 43  50 ]

(coefficient ligne 1 colonne 1 = produit terme a terme de la ligne 1 de A et de la colonne 1 de B, puis somme)

Méthode générale

Pour trouver le coefficient à la position (i, j) du produit : on prend la ligne i entière de A, la colonne j entière de B, on multiplie chaque paire de termes alignés, puis on additionne tous ces produits. Chaque coefficient du résultat demande donc une somme de produits, pas une simple multiplication.

Piège classique

Le produit matriciel n'est en général PAS commutatif : A x B est presque toujours différent de B x A (et B x A peut même ne pas exister si les tailles ne correspondent pas dans cet ordre). Il faut aussi vérifier que les tailles sont compatibles (colonnes de A = lignes de B) avant même de commencer le calcul, sinon le produit n'existe pas.