La matrice identité et une application géométrique

La matrice identité

La matrice identité I (de taille n x n) est une matrice carrée qui contient des 1 sur la diagonale principale (de haut-gauche à bas-droite) et des 0 partout ailleurs. Elle joue pour le produit matriciel le même rôle que le nombre 1 pour la multiplication ordinaire : pour toute matrice A compatible, A x I = A et I x A = A.

Matrice identite de taille 2 x 2 :

      [ 1  0 ]
I2 =  [ 0  1 ]

Verification avec A = [[1,2],[3,4]] :

A x I2 = [ 1*1+2*0   1*0+2*1 ]  =  [ 1  2 ]  = A
         [ 3*1+4*0   3*0+4*1 ]     [ 3  4 ]

(multiplier par l'identite ne change rien a la matrice)

Application : transformer un point

Un point du plan de coordonnées (x, y) peut se représenter par une matrice colonne. Appliquer une transformation linéaire (rotation, changement d'échelle) revient à multiplier cette matrice colonne par une matrice de transformation M.

Transformation d'echelle M = [[2,0],[0,3]] appliquee au point P = (1, 1) :

        [ 2  0 ]   [ 1 ]     [ 2*1 + 0*1 ]     [ 2 ]
M x P = [ 0  3 ] x [ 1 ]  =  [ 0*1 + 3*1 ]  =   [ 3 ]

(le point (1,1) devient le point (2,3) : x est double, y est triple)

On peut aussi faire tourner un point de 90 degrés avec la matrice R = [[0,-1],[1,0]]. Appliqué au point (1, 0), on obtient R x (1,0) = (0, 1) : le point a bien pivoté d'un quart de tour.

Piège classique

Dans une transformation M x P, l'ordre compte : P doit être une matrice colonne placée à droite de M pour que les tailles soient compatibles (M est n x n, P est n x 1, le résultat est n x 1). Écrire P x M reviendrait à essayer un produit souvent impossible ou à un résultat complètement différent.