Addition et multiplication par un scalaire

Addition de deux matrices

On ne peut additionner que deux matrices de même taille (même nombre de lignes et même nombre de colonnes). L'addition se fait coefficient par coefficient, à la même position.

Addition (case par case) :

  [ 1  2 ]     [ 5  6 ]     [ 1+5  2+6 ]     [ 6   8  ]
  [ 3  4 ]  +  [ 7  8 ]  =  [ 3+7  4+8 ]  =   [ 10  12 ]

(chaque case du resultat = somme des cases situees au meme endroit)

Multiplication par un scalaire

Un scalaire est simplement un nombre (par opposition à une matrice). Multiplier une matrice par un scalaire k revient à multiplier chaque coefficient par k.

Multiplication par le scalaire k = 3 :

           [ 1  2 ]     [ 3*1  3*2 ]     [ 3  6 ]
  3  x     [ 3  4 ]  =  [ 3*3  3*4 ]  =   [ 9  12 ]

(chaque case est multipliee par le meme nombre 3)

Propriétés utiles

Ces deux opérations se comportent comme sur les nombres ordinaires : l'addition est commutative (A + B = B + A) et associative, et la multiplication par un scalaire est distributive sur l'addition : k x (A + B) = k x A + k x B. On retrouve aussi la matrice nulle (tous les coefficients égaux à 0), qui joue le rôle neutre pour l'addition.

Exemple combiné

Avec A = [[1,2],[3,4]] et B = [[5,6],[7,8]], calculons 2A - B, c'est-à-dire 2A + (-1)B :

2A = [[2,4],[6,8]], et -B = [[-5,-6],[-7,-8]], donc 2A - B = [[2-5, 4-6],[6-7, 8-8]] = [[-3,-2],[-1,0]].

Piège classique

On ne peut pas additionner deux matrices de tailles différentes (par exemple une 2 x 3 et une 3 x 2) : l'opération n'est tout simplement pas définie, même si le nombre total de coefficients est identique. Vérifie toujours les tailles avant d'additionner.