Operations sur les limites et formes indeterminees

Regles operatoires

Si lim(x->a) f(x) = L et lim(x->a) g(x) = M (L, M finis), alors :

• lim (f+g) = L+M
• lim (fg) = LM
• lim (f/g) = L/M, si M != 0

Ces regles echouent des que L ou M est infini ou nul dans certaines combinaisons : ce sont les formes indeterminees.

Les quatre formes indeterminees

Forme	Exemple typique
0/0	lim(x->0) sin(x)/x
infini/infini	lim(x->+infini) (x^2+1)/(3x^2)
infini - infini	lim(x->+infini) (sqrt(x+1) - sqrt(x))
0 * infini	lim(x->0+) x * ln(x)

Methodes de levee d'indetermination

• Factorisation et simplification (ex : (x^2-1)/(x-1) = x+1 pour x != 1)
• Quantite conjuguee pour les racines
• Mise en facteur du terme dominant en +/- infini
• Changement de variable
• Utilisation d'equivalents ou de developpements limites

Exemple : lim(x->+infini) (sqrt(x+1) - sqrt(x)) = lim (x+1-x)/(sqrt(x+1)+sqrt(x)) = lim 1/(sqrt(x+1)+sqrt(x)) = 0.

Piege classique

La regle de L'Hopital (derivee de f sur derivee de g) ne s'applique QUE aux formes 0/0 ou infini/infini, et seulement si les derivees sont bien definies au voisinage du point ; l'appliquer aveuglement sur une forme non indeterminee donne un resultat faux.