Continuite, limites infinies et asymptotes

Continuite et limite

f est continue en a si et seulement si lim(x->a) f(x) = f(a) : la limite doit exister, etre finie, et coincider avec la valeur de la fonction. C'est la definition qui relie directement les deux notions.

Prolongement par continuite

Si f n'est pas definie en a mais que lim(x->a) f(x) = L existe et est finie, on peut definir une nouvelle fonction egale a f partout ailleurs, et qui vaut L en a. Exemple : f(x) = sin(x)/x n'est pas definie en 0, mais on la prolonge en posant f(0) = 1.

Discontinuites

• Premiere espece : les limites a gauche et a droite existent et sont finies, mais differentes entre elles ou de f(a). Exemple : la partie entiere E(x) en tout entier.
• Seconde espece : au moins une des limites laterales n'existe pas ou est infinie. Exemple : sin(1/x) en 0.

Asymptotes definies par des limites

• Asymptote horizontale : lim(x->+/-infini) f(x) = L (droite y = L)
• Asymptote verticale : lim(x->a) f(x) = +/-infini (droite x = a)
• Asymptote oblique : lim(x->+infini) [f(x) - (mx+p)] = 0, avec m = lim f(x)/x et p = lim (f(x) - mx)

Piege classique

Le theoreme des valeurs intermediaires suppose la continuite sur un intervalle FERME et borne : l'oublier conduit a des "preuves" fausses d'existence de solution. De meme, une asymptote oblique n'existe que si les DEUX limites (m puis p) sont finies ; si m est infini ou n'existe pas, il n'y a pas d'asymptote oblique.