Definition rigoureuse de la limite

Pourquoi formaliser la limite ?

Au lycee, on dit que "f(x) tend vers L quand x tend vers a" sans plus de precision. Au niveau superieur, il faut une definition rigoureuse pour demontrer des theoremes et eviter les erreurs de raisonnement intuitif.

Definition epsilon-delta

On dit que lim(x->a) f(x) = L si : pour tout epsilon > 0, il existe delta > 0 tel que pour tout x, 0 < |x - a| < delta => |f(x) - L| < epsilon.

Autrement dit, on peut rendre f(x) aussi proche de L que l'on veut, a condition de prendre x suffisamment proche de a (sans etre egal a a).

Limites en l'infini

lim(x->+infini) f(x) = L signifie : pour tout epsilon > 0, il existe A tel que x > A => |f(x) - L| < epsilon. Et lim(x->a) f(x) = +infini signifie : pour tout M, il existe delta > 0 tel que 0 < |x-a| < delta => f(x) > M.

Limites a gauche et a droite

Une limite existe en a si et seulement si les limites a gauche (x->a-) et a droite (x->a+) existent et sont egales. Exemple classique : f(x) = |x|/x n'a pas de limite en 0 car lim(x->0-) f(x) = -1 et lim(x->0+) f(x) = 1.

Piege classique

Confondre "f(a) existe" et "lim(x->a) f(x) existe" : une fonction peut avoir une limite en a sans y etre definie (ex : sin(x)/x en 0), ou etre definie en a sans avoir de limite en ce point.