Limites remarquables et croissances comparees

Limites remarquables a connaitre par coeur

lim(x->0) sin(x)/x = 1 lim(x->0) (1-cos(x))/x^2 = 1/2 lim(x->0) (e^x - 1)/x = 1 lim(x->0) ln(1+x)/x = 1 lim(x->+infini) (1+1/x)^x = e

Ces limites servent de brique de base pour en calculer d'autres, par composition ou changement de variable.

Equivalents en un point

Deux fonctions f et g sont equivalentes en a (note f ~ g) si lim(x->a) f(x)/g(x) = 1. On peut alors remplacer f par un equivalent plus simple g dans un produit ou un quotient, mais jamais dans une somme ou une difference.

Exemple : sin(x) ~ x en 0, donc lim(x->0) sin(3x)/(5x) = lim(x->0) 3x/(5x) = 3/5.

Croissances comparees en +infini

Pour tout a > 0 et b > 1, on classe les fonctions de reference :

Ordre croissant	Fonction
1 (le plus lent)	ln(x)
2	x^a
3	b^x
4 (le plus rapide)	x^x

On resume souvent : ln(x) << x^a << b^x quand x -> +infini. Le logarithme est "domine" par toute puissance, elle-meme dominee par toute exponentielle de base superieure a 1.

Piege classique

Utiliser un equivalent dans une somme ou une difference f - g quand f ~ g : cela peut donner 0 au lieu du vrai resultat. Il faut alors repasser par un developpement limite d'ordre superieur pour capter le terme dominant reel.