Factoriser avec les identites remarquables

Lire les identites a l'envers

Factoriser, c'est transformer une somme en produit. Les identites remarquables se lisent aussi de droite a gauche :

Forme developpee	Forme factorisee
a^2 + 2ab + b^2	(a+b)^2
a^2 - 2ab + b^2	(a-b)^2
a^2 - b^2	(a+b)(a-b)

Exemple : reconnaitre un carre

Factorisons x^2 + 6x + 9. On reconnait a^2=x^2 donc a=x, b^2=9 donc b=3, et 2ab=2x3=6x qui correspond bien au terme du milieu. Donc : x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2

Exemple : difference de deux carres

Factorisons 4x^2 - 25. On ecrit 4x^2=(2x)^2 et 25=5^2, donc a=2x et b=5 : 4x^2 - 25 = (2x+5)(2x-5)

Methode en 3 etapes

1. Verifier que les deux termes extremes sont des carres (a^2 et b^2)
2. Verifier le signe et la valeur du terme du milieu (2ab) si present
3. Ecrire directement la forme factorisee correspondante

Piege a eviter

x^2 + 9 ne se factorise PAS avec les identites remarquables : il manque le terme 6x qui devrait accompagner un carre parfait de type (x+3)^2, et une somme de deux carres ne se factorise jamais dans les nombres reels. Verifie toujours les trois conditions avant de conclure a une factorisation.