La difference de deux carres

La troisieme identite remarquable

Il existe une troisieme formule tres utilisee, qui relie une somme et une difference : (a+b)(a-b) = a^2 - b^2

Ce resultat s'appelle la difference de deux carres.

D'ou vient cette formule ?

En developpant (a+b)(a-b) terme a terme : aa - ab + ba - bb = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2

Les deux termes du milieu (-ab et +ab) s'annulent, il ne reste que les carres.

Exemple concret

Calculons (x+5)(x-5) avec a=x et b=5 : (x+5)(x-5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25

Cette formule permet aussi des calculs mentaux rapides. Par exemple 21*19 = (20+1)(20-1) = 20^2 - 1^2 = 400 - 1 = 399.

Tableau recapitulatif

Identite	Formule
Carre d'une somme	(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Carre d'une difference	(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Somme fois difference	(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

Piege a eviter

Ne confonds pas (a-b)^2 (qui donne a^2 - 2ab + b^2, toujours positif ou nul) avec a^2 - b^2 (qui peut etre negatif). Ce ne sont pas du tout la meme expression, meme si elles se ressemblent visuellement.