Formules de duplication et de linearisation

Formules de duplication

En posant b = a dans les formules d'addition, on obtient les formules de l'angle double :

sin(2a) = 2sin(a)cos(a) cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = 2cos^2(a) - 1 = 1 - 2sin^2(a)

Ces trois ecritures de cos(2a) sont equivalentes ; on choisit celle qui simplifie le calcul selon les donnees disponibles (par exemple si on connait seulement cos(a), on utilise 2*cos^2(a) - 1).

Linearisation

A partir des formules precedentes, on isole cos^2(a) et sin^2(a), ce qui permet de lineariser une expression (supprimer les carres) :

cos^2(a) = (1 + cos(2a))/2 sin^2(a) = (1 - cos(2a))/2

Exemple : pour simplifier une expression contenant sin^2(x), on remplace par (1-cos(2x))/2 afin d'obtenir une ecriture sans carre, plus facile a etudier ou a integrer.

Piege classique

Ne confondez pas sin(2a) avec 2sin(a) : ce sont deux expressions differentes. Par exemple pour a = pi/6, sin(2a) = sin(pi/3) = sqrt(3)/2, alors que 2sin(a) = 2*(1/2) = 1. Les deux valeurs sont clairement distinctes, donc verifiez toujours a quel argument s'applique le facteur 2.