La fonction carre

Definition

La fonction carre est definie sur R par f(x) = x^2. Elle associe a chaque reel x le nombre x^2 = x*x.

Variations

La fonction carre n'est pas monotone sur R entier :

• sur l'intervalle ]-infini ; 0], elle est decroissante
• sur l'intervalle [0 ; +infini[, elle est croissante

x	-2	-1	0	1	2
x^2	4	1	0	1	4

Courbe representative

La courbe de f(x) = x^2 est une parabole tournee vers le haut, de sommet l'origine (0;0). Elle est symetrique par rapport a l'axe des ordonnees (axe des y), car f(-x) = f(x) pour tout x : on dit que la fonction carre est paire.

Exemple d'utilisation

Pour comparer f(-3) et f(2) : f(-3) = 9 et f(2) = 4, donc f(-3) > f(2), meme si -3 < 2. Cela illustre bien que la fonction carre n'est pas croissante sur R entier.

Piege classique

Attention : x^2 >= 0 toujours, mais x^2 <= y^2 n'implique pas x <= y. Par exemple (-5)^2 = 25 > 2^2 = 4 alors que -5 < 2. Il faut toujours etudier le signe de x avant de comparer deux carres.